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            壓軸題“一題精講”(十一):構造基本圖形(1)

            2022-06-14

            利用平行線構造基本圖形A或X型圖形是常見的輔助線添線方法,在近幾年的模考題和中考題中都有涉及,這些圖形的特點都是含有“燕尾三角形”根據關鍵點作平行線,從而構造A/X型基本圖形
            歷年中考題賞析:
            鏈接:2020上海中考25(3)

            鏈接:2018上海中考25(2)

            鏈接:2010上海中考25(2)

            以上圖形中都有典型的“燕尾三角形”,通過過關鍵點作平行線,兩次利用圖形中的A或X型基本圖形,就可以借助線段間的比例關系達成問題解決。這三道題的對應部分認真體會,即可掌握此類問題的添線方法。

            本題的背景是等腰三角形與中點問題。
            本題的第一問是證明線段間的比例關系和證明線段平行。值得注意的是,當證明線段間的比例關系時,需要添加平行線,構造A或X型基本圖形需要注意的是,添加的平行線,需要能夠2次利用A/X型基本圖形,同時需要過“關鍵點”作輔助線
            延長EQ交BC或延長AB、FP都不能兩次利用基本圖形,因此采取以下兩種做法:

            本題的第二問涉及了兩圓相切問題。其關鍵是需要找準圓心距和兩圓半徑和差的數量關系。本題中的圓心距是EF中點和點B的距離BM,利用勾股定理先求出BM的長度,再利用兩圓外切和兩圓內切同圓心距間的數量關系,求出BP的長度。

            本題的第三問涉及了三角形相似問題,關鍵是需要找準等角。由EF//BC,可得∠EFP=∠FPC。本題中不涉及特殊三角形或特殊角的三角比,因此可以通過夾邊對應成立(兩種情況)比進行解決。即求出EF、FP、CP和FQ的長度。
            其中EF和CP的長度容易求得,FP借助解三角形可以求得,如何求FQ的長度就成了難點。可以借助第一問中的X型圖形,找到FQ和FP間的數量關系,即可表述出FQ的長度。在計算時,也有一定的技巧,所以最后求BP的長度并不困難。

            多個中點的出現,如何添加輔助線,構造基本圖形?

            詳細解法見下方視頻:

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